义务教育课程方案及课程标准都倡导实施跨学科主题学习，这也成为课程改革中被广泛倡导的方向。然而在教学实践中，跨学科学习往往停留在情境包装或者内容拼盘层面，学生难以真正整合运用多学科知识及方法解决问题，学科核心素养及跨学科素养的培养收效甚微。基于此，本研究以数学学科核心素养发展为主轴，将生物学实验作为情境与数据来源，以“教室里需要多少植物才能为所有人提供足够的氧气”为驱动问题，设计并实施了一项“费米问题—真实数据—数学建模—解释评估”一体化的跨学科课堂教学活动，以期为数学跨学科教学提供参考。

本活动的目标不是完成一次“热闹的跨学科活动”，而是让学生在真实情境中经历相对完整、可被观察与评价的数学学习过程。

费米问题（Fermi questions）是开放式估算问题，通常不存在唯一标准答案，也难以通过直接套用公式完成求解；它以估算、拆解、逻辑推理为核心，无标准已知条件，倒逼学生自主拆分复杂问题、搜集关联信息、合理假设推演。面对陌生估算任务，学生不能再依赖现成公式，而需主动分析问题脉络，自主搭建思考路径。过程中设计试错、修正、论证的探究环节，能够锻炼学生的智能计算思维；这是一个面向未来社会的数学素养，其形成与发展不仅与数学学科内容的学习密切相关，也是一个需要跨学科内容支持的素养。以费米问题驱动的数学跨学科教学，能够转变学习定位，弱化计算技巧，强化思维过程，引导学生主动探索未知，真正从被动套用公式的“做题人”转变为自主分析、独立求证的“探究者”。

就“数学-生物学”整合而言，真正切合数学学科本身的跨学科整合方式应当明确地表现出在概念建立过程中以数学为核心的思维过程，数学不是配套计算，而应在推理中处于核心位置；生物学则提供真实可观察的现象、可采集的数据以及解释结果合理性的科学约束。基于此，我们形成三条可操作的教学原则：其一，任务必须同时需要数学与生物学的关键贡献，任何单一学科都不足以使学生独立完成；其二，数据来自学生的测量与记录，使数学成为理解现象的必要工具；其三，跨学科教学需落实到学科教师的共同备课与关键决策上，确保生物学实验“可做、可见、可测”，同时实验程序不掩盖数学推理。以上原则将具体体现在任务链设计以及“数学思维追踪表”等工具的使用方式中。

本活动将“氧气产生与消耗”这一生物现象转化为数学任务，具体体现为：学生先将驱动问题表述为“单位时间的氧气需求与供给”的量化关系（表述），再通过测量、比例缩放与速率计算处理数据并形成模型（运用），最后回到教室情境评估所得植物数量在生物学与现实层面是否合理，并据此修正假设或模型（解释）。我们希望学生意识到，在真实数据条件下，模型并非一次完成，而是会因为误差、波动与假设差异而需要迭代，这正是数学建模的本质特征之一。

在基于数学学科的跨学科综合过程中，应当围绕数学化的过程，将数学化的方法和知识在不同学科情境中进行深化，因此跨学科活动设计的第一道关口是能否找到一个让数学思维真正发生的驱动问题。我们在备课初期的共识是：问题必须同时满足“有真实意义”和“需要数学建模”这两个条件。基于这一判断，我们将驱动问题的筛选聚焦在三类标准上。第一，问题要足够开放，允许不同的合理假设与路径分解，促使学生说明“为什么这样设定、为什么这样计算”。第二，问题要具有可测量性与可操作性，学生能够在课堂条件下获得必要数据，哪怕数据带有误差，也应当可用于模型的建立与修正。第三，问题需要能建模闭环，即能够从现实情境转化为数学关系（表述），通过数据处理形成模型（运用），再回到情境解释结果的合理性并进行修正（解释）。最终，我们选定“教室里需要多少植物才能为所有人提供足够的氧气”作为驱动问题。它既贴近学生经验（教室、呼吸、植物），又能自然引出关键变量（人数、时间、氧气消耗速率、植物产氧速率、空间体积等），更重要的是，学生必须经历假设设定、数据获取等典型建模步骤来获得答案。同时，问题的答案不会是一个“标准数”，而更像一个可论证的区间或估计值，使课堂评价能够从评价“对错”转向“推理质量与证据充分性”。

驱动问题确定后，活动的关键在于“数据从哪里来、怎样来”。综合考虑课堂时间、设备可得性、学生操作难度以及数据获取的稳定性与可控性，我们选择以金鱼藻为材料，采用“单位时间气泡数（气泡计数）”作为主要数据来源，并将其作为数学建模的经验数据。 金鱼藻是一种水生植物，能产生清晰可见的氧气气泡。这解决了一个主要的实践挑战——学生如何真正观察和测量氧气产生。可见的气泡将抽象的生化过程转化为学生可以数、可以计时、可以量化的具体事物。教师设计了允许多个学生小组同时观察氧气产生的装置（图1）。他们确定了最佳的光照条件、水温和植物健康状态，以确保课堂时间内氧气产生的稳定性。在此过程中，学生需要对光合作用有概念性理解（植物利用光能产生氧气作为副产品），但不需要详细的生物化学知识。这保持了生物学的真实性，同时让数学探究保持核心地位。

基于气泡计数的数据，我们进一步形成了任务链：从驱动问题的变量拆解与假设提出开始，过渡到实验数据的采集与整理，再到模型建立、计算与合理性检验。

在费米问题驱动的这一类探究中，开放任务往往让教师面临评价困境：如果只看最终答案，既无法反映学生的推理质量，也难以及时发现关键误区并提供针对性支持。为解决这一难题，我们开发了“数学思维追踪表”（以下简称“追踪表”）（图2），将其作为贯穿课堂的学习支架与过程性证据载体。

追踪表并不预设解题步骤，也不提供固定模板答案，而是围绕建模过程中最关键、最容易“卡住”的节点设置提示，帮助学生把隐性的思考显性化、把零散的尝试结构化。

就本活动而言，该工具主要支持学生完成以下四类关键工作。第一，变量与假设：学生需要明确与问题相关的量，并写出自己的核心假设及其理由；第二，数据与单位：学生需要记录数据来源与测量方式，并对单位、量纲与换算进行标注，从而减少“算得对但单位错/意义错”的情况；第三，模型表达与计算：学生需要把“变量之间的联系”写清楚，例如，成比例的变量关系是怎样确定的，如何根据速率进行估算，或者怎样确定局部测量到教室尺度的对应放大倍数；第四，合理性检验与修正：学生需要对结果进行复核，并记录可能的误差来源与可改进之处。

教师可以通过追踪表快速判断各组目前处于建模的哪个环节，从而用更短的时间抓住“关键症结”，并用针对性提问推动学生继续前进。更重要的是，追踪表使“开放探究”与“可评价性”不再对立：学生的学习产出不只是一张答案纸，而是包含假设、数据、模型、检验与修正过程的证据链。

课堂开始，教师没有直接抛出驱动问题，而是将金鱼藻实验装置置于所有学生可清楚观察的位置，并给出提示语：“安静地观察这个装置两分钟，随后在共享Padlet （图3）上记录你看到了什么、想到了什么、想追问什么。”

学生在Padlet上形成三类高频表述：一类是生物学观察（如“气泡往上冒”“植物很绿”），一类是数学化注意（如“气泡速度不一样”“有些气泡更大”），一类是问题生成（如“为什么会产生气泡？”“每分钟有多少个气泡？”）。

这一环节的组织策略是先让每位学生完成独立观察，再进入同伴交流；Padlet也让每位学生都有表达入口，避免课堂早期被少数声音主导。

在学生生成真实疑问后，教师再引入驱动问题：“根据你的观察，教室里需要多少这种金鱼藻才能为所有人提供足够的氧气？”学生随即提出“需要多少氧气”“植物产生多少”“光照是否影响”等追问，课堂自然进入探究规划阶段。

学生四人一组使用追踪表完成探究规划。教师提供最少的指导，核心提示是：“你需要什么数学数据来回答这个问题？你的解决策略是什么？”

多数小组能迅速识别两类必要数据：人体氧气消耗量与植物产氧量，但各小组在“精确度水平”上差异明显。有的小组停留在笼统表述（如“要知道呼吸相关数据”），有的小组则细化为可测量变量（如“每分钟呼吸次数”“每次呼吸体积”“空气中氧气比例/氧气量单位”），部分小组还主动意识到“速率”视角（单位时间的氧气）与“个体—群体缩放”问题。

同时，追踪表中的“规划页”与小组笔记可作为证据，用于分析学生是否具有变量识别、速率意识与测量策略意识等建模起点能力。

学生采取分工合作的方式以保证课堂内能出现真实数据并形成互相依赖：一部分小组测量人体氧气消耗相关量，另一部分小组测量植物产氧相关量，还有小组使用文献或合理估算值快速推进建模，以便课堂能够进入“模型表达与解释”环节。

人体测量组使用秒表等简易工具进行多次计时，而植物测量组在规定时间内进行气泡计数，并很快发现真实数据的复杂性：气泡大小不一、速率随时间变化，由此自然引出“同样计数是否合理”“是否需要平均/区间”的数学讨论入口。当学生纠结气泡大小差异时，教师引导其把问题转化为可操作的处理策略，如分类计数、取平均、给出范围并说明不确定性来源等。追踪表中的数据记录、数据处理说明与误差讨论文字，是后续评价“学生如何处理真实数据”的关键证据。

每组学生用一句话汇报一个发现或一个关键不确定性，如“实际需要的氧气比想象多”“光照影响气泡速率”“不同假设导致结果差异很大”。教师以“这是一个真实数学探究的起点”进行总结，指出在后续的系列课程中，会提供更充分的数据收集与模型迭代时间，帮助学生把今天的尝试发展为更有把握的解决方案。小组汇报可作为课堂观察记录，用于描述学生在短时间内是否形成“用证据支持结论、承认不确定性并提出改进”的建模意识。

首先，开放的费米问题与“观察—思考—疑问（See–Think–Wonder）”共同构成了学生主导的探究入口。这种主导权在小组讨论与跨组交流中清晰可见：学生会评估不同策略的可行性，并在不依赖教师持续给步骤的情况下主动改进方法。其次，真实实验数据为数学建模提供了明确而真实的智性目的。学生在反思中提到“真实数据比教科书上的数字更乱但更有意思”，反映了其对数学活动意义的重新定位。再次，追踪表通过推理提示将关键建模节点显性化，既避免学生被探究的复杂性压垮，又保留其对方法与策略的决策空间。对教师而言，追踪表也提供了利于过程性评价的学习证据，保存了学生的完整推理链条。最后，跨学科合作在本课中形成互补关系，生物学提供需要建模的真实现象与数据来源，并为结果解释提供科学约束；数学则提供量化、表达、推理与预测的工具，这种互补整合使数学学习不会被实验程序或情境叙事所淹没。

学生能够启动真实探究并进入建模关键节点，但难以完成充分的数据收集、稳定的数据处理与模型迭代。因此，课堂收束宜明确定位为“探究的开始”，而不宜追求“得到最终确定答案”。开放任务也对教师的课堂判断提出更高要求。我们的课堂经验表明，开放性追问往往比直接建议更有效，既能推动任务继续推进，也能保留学生作为探究者的主体地位。此外，学生方案在数学复杂程度上的差异也会带来评价挑战。开放性的费米问题允许多层次方案，这是差异化学习的优势，但教师需要有意识地把评价锚定在“核心能力是否发展”上，而不是以“模型越复杂越好”作为隐性标准。

尽管本文的课堂情境围绕“植物与氧气”，但其底层原则可迁移到更多数学或跨学科主题。实施者在适配时可从以下三个方面把握：其一，任务设计应迫使学生提出假设并作出决策，使数学推理成为解决问题的核心；其二，应将真实数据视为学习资源，把数据波动转化为讨论平均、区间、误差与合理性检验的机会；其三，应使用过程性工具（如追踪表）来同时服务学习支架、形成性评价与元认知反思，使学生思维可见而不过度增加教师的记录负担。

若在常规课时条件下实施，建议将该课程拓展为4课时以补足关键环节，并形成更完整的建模闭环：第1课时完成现象观察、问题生成与探究规划；第2课时聚焦数据收集与数据质量进行讨论；第3课时完成建模计算、跨组比较与模型修订；第4课时完成展示、反思与迁移。该拓展路径的核心不在于“把流程拉长”，而在于为数据、检验与迭代留出时间，使学生能更充分地体验建模的真实性与可修正性。

本文所呈现的并非“唯一正确的范式”，而是一种可行的路径示例：在守住学科本位的前提下，让学生以探究者身份处理真实数据，在不确定性中进行推理、解释与修正，并通过过程性证据实现可评价的建模学习。期待这种路径能支持更多教师在日常教学中开展跨学科实践。

（作者简介：虞佳玮，北京王府学校教师。）